La desigualdad del Bell en la teoría cuántica

John Bell se aferra a la siguiente situación experimental: La medida de los espines de los pares de protones en correlación. Esta se define por tres componentes: A, B y C, cada uno de los cuales solo puede tomar dos calores: Positivo ó negativo. Cuando la medida dele spin es positiva y relativa a la componente A, se le atribuye la caracteristica A(+), y así sucesivamente para las otras componentes y otros signos.
El razonamiento de Bell es un razonamiento de la teoría de conjuntos y se aplica a toda la población de pares de individuos en que se observan tres propiedades dicotómicas. Por dicotomia debe entenderse: cada una de  estas propiedades no puede tomar mas que dos valores.
Se enumeran 2 elevado a la 3, esto es, ocho clases posibles de protones. Si una particula tiene las propiedades A+ y B - puede ser, ya un elemento de la clase A+ B- C+, o ya un elemento de la clase A+ B- C-. De aquí que si se denomina N(A+B-) el número de tales particulas, es es igual a la suma

N(A+B-C-) + N(A+B- C-)

Un razonamiento identico para las particulas (A+C-), da:

N(A+C-) = N(A+B-C-)

Resulta que N(A+C-) es superior o igual a N(A+B-C-).

Un razonamiento idéntico conduce a escribir:

N(B-C+) mayor o igual que N(A+B-C+)

Una combinación de las tres relaciones da:
N(A+B-) mayor o igual que N(A+ C-) + N(B+ C+)

desigualdad que sigue siendo verdadera si todos lo signos se invierten.
La segunda etapa del razonamiento de Bell es una extrapolación a partir del caso de particulas individuales, en que dos propiedades se suponen conocidas para el caso de "pare" de particulas en que se ha medido un propiedad de cada componente. El símbolo n(A+B-) representará el número de pares de protones en los cuales una de las partículas tiene la componente A+ y otra la componenete B- . Las experimentaciones producen un efecto sobre los pares de protones en correlación.
Un argumento estadistico demuestra que n(A+B+) es proporcional a N(A+B-), número de protones individuales de componentes de espín  A+ B- . De igual modo n(A+B-) es proporcional a N(A+C-) y n(B-C+). Además la constante de proporcionalidad es la misma en los tres casos. Reemplazando cada uno de los números no mesurables de la desigualdad:

N(A+B-) menor o igual que N(A+C-) + N(B-C+)

demostrada precedentemente, por los primeros medios correspondientes de los pares de protones "doblemente positivos", el resultado es, por lo tanto

n(A+B+) menor que n(A+C+) + n(B+C+) esto es la desigualdad de Bell.